조건부확률과 독립시행 문제 아는부분만이라도 도움좀..ㅠㅠ

세 자리 자연수를 모두 각각 하나씩 적은 종이를 한 장씩 상자에 넣어두었다. 한장을 임의로 뽑아 각자리숫자의 합이 8이면 유럽여행권 제공 이 행사에 참여한 3명중 2명 이상이 상품을 받을 확률은? 

 

수직선 위 원점 O에 점 p가있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 1만큼 뒷면이 나오면 -1 만큼 이동한다고 할때 9회 던질때 Op의 길이가 2보다 같거나 작을 확률 

 

AB를 포함한 8명이 기종이 동일한 2대의 5인승 차량에 나누어 타려한다. 8명이 임의로 차를 나누어 타니 A와 B가 서로 다른 차에 타고 있었을때 A가 사람의 수가 더 작은 차에 탔을 확률은? 

(차에서 앉는 자리는 고려 x) 

 

각면에 1부터 6까지의 자연수가 적힌 정육면제가 있다 1부터 n까지의 숫자가 적힌면은 흰색 n+1부터 6까지의 숫자가 적힌 면에는 노란색이 칠해질때 정육면체를 한번던져 짝수의 눈이 나오는 사건을 A 흰색을 칠한면이 나오는 사건을 B라할때 A와 B가 서로 독립이 되도록하는 모든 자연수 n의값의 합 (단 n은 1이상이고 5이하의 범위내에 있다) 

 

진짜 네개다 너무 풀기 막막하다...ㅠㅠㅠㅠㅜㅠ  

도와줘..ㅠㅠㅠㅠ

[익인1]

1번부터 설명해볼게! 1번 문제는 독립 시행 문제야. 유럽 여행권을 받을 확률이 p라고 해보자. 그럼 3명 중 2명이 당첨될 확률은 3C2×p^2×(1-p)겠지? (키보드로 나타내서 식이 저런데 헷갈리면 종이에 써가면서 읽어줘.) 그리고 2명 이상 당첨이니까 3명 다 당첨된 경우도 고려해야지. 그래서 3C3×p^3도 있는 거지. 그럼 이제 p를 구해야 되잖아. 세 자리 수 중에서 각 자리 숫자의 합이 8인 수는 몇 개일까? 여러 가지 방법이 있는데 내가 생각하기에 가장 쉬운 방법으로 설명해볼게. 우선 박스 세 개가 있다고 생각하자. 각각 백의 자리의 박스, 십의 자리의 박스, 일의 자리의 박스야. 그리고 1이 적힌 숫자 카드가 8개 있다고 생각해봐. 우리는 이 카드 8장을 박스 세 개에 골고루 담는 거야. 만약에 내가 백의 자리 박스에 카드 3장을 넣고, 십의 자리 박스에 2장을 넣고, 일의 자리 박스에 3장을 넣으면 숫자 323이 되는 거지! 이해가 돼? 그러니까 우리가 1이 적힌 카드 8장을 세 개의 박스에 나눠담는 경우의 수를 세면 그게 각 자리 숫자의 합이 8인 경우의 수가 된다는 거지. 근데 세 자리 수니까 백의 자리가 0이면 안 되잖아? 그래서 일단 백의 자리 박스에 카드 한 장을 넣어둬. 그럼 무조건 백의 자리는 1을 확보한 게 되니까. 그리고 남은 7장을 3개의 박스에 적절히 나눠담는 거야. 중복조합을 사용하면 3H7이 돼! 3H7 계산하면 36이지. 세 자리 수가 총 1000개니까 p는 36/1000=9/250이 되는 거야. 이해가 돼?

[익인2]

2번 문제는 앞면이 x번 나오고 뒷면이 y번 나온다고 해보자. 그럼 총 9회 던지는 거니까 x+y=9겠지? 앞면이 나오면 1만큼 가고 뒷면이 나오면 -1만큼 가니까 시행이 다 끝나고 점 P의 위치는 x-y일 거야. 선분 OP의 길이가 2 이하라고 하니까 |x-y|가 2 이하라는 거겠지? 길이는 절댓값을 붙여 줘야 돼. |x-y|<2 부등식을 풀면 -2<x-y<2야. (등호가 붙어있는 부등호가 없어서 표시하진 못했지만 지금까지 쓴 부등호는 다 밑에 등호가 붙어있어!) 이 두 조건을 만족하는 x,y를 찾아야 되는데 우선 x,y는 음이 아닌 정수야. 왜냐면 앞면이 나오는 횟수를 x번이라 했는데 -1번이 나왔다고 할 순 없잖아? 그러니까 이 조건도 이용해서 x+y=9를 만족하는 순서쌍을 찾자. (x,y)=(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(9,0) 총 10갠데 이 중 -2<x-y<2를 만족하는 순서쌍은 (4,5),(5,4) 두 개야. 그럼 구하고자 하는 확률은 2/10=1/5!

[익인3]

3번 문제는 조건부 확률 문제네! A,B가 다른 차에 타는 사건을 A라 하고, A가 타고 있는 차의 인원이 더 적은 사건을 E라 하자. 그럼 우리가 구하려고 하는 확률은 P(E|A)겠지? 일단 A,B가 다른 차에 타는 경우의 수부터 구해보면 두 대의 차를 임의로 1번,2번이라 해볼게. A를 1번 차에 태우고 B는 2번 차에 태운다고 하자. 그럼 나머지 6명은 그냥 골라 타면 되잖아. 그래서 2^6=64야. 그 다음에는 A가 탄 차의 인원이 더 적은 경우의 수를 구하면 돼. 6명 중 1명이 A가 탄 차를 탈 때, 6명 중 2명이 A의 차를 탈 때 A가 탄 차의 인원이 더 적어지지? 그래서 전자의 경우는 6C1=6, 후자는 6C2=15 해서 구하려는 확률은 (6+15)/64=21/64

[익인4]

두 사건 A,B가 독립이려면 P(A교B)=P(A)×P(B)를 만족해야 되잖아. P(A)는 그냥 짝수가 나올 확률이니까 3/6=1/2이지. 그리고 P(B)는 n/6일 거야. 왜냐면 흰색이 칠해진 면이 1부터 n까지 해서 n개니까 말야. P(A교B)는 n=1부터 n=5까지 경우를 나눠서 고민해야 해. n=1일 때는 P(A교B)=0이야. 왜냐면 흰색이 칠해지는 숫자는 1밖에 없으니까 흰색이 칠해진 숫자가 나올 수 없어. 독립의 조건을 만족하지 않으므로 n은 1이 아니야. n=2일 때는 P(A교B)=1/6이야. 흰색이 칠해진 짝수가 2 하나니까. 이때는 독립의 조건을 만족하지? n=3일 때도 P(A교B)=1/6일 테고 이때는 독립 조건 안 되고 n=4일 때는 P(A교B)=2/6=1/3 이때는 독립이고 n=5일 때는 P(A교B)=2/6=1/3 독립 아니야. 따라서 조건을 만족하는 n은 2와 4야

[익인5]

이해가 되니? 아 타자로 치려니까 답답한 부분도 많고 설명하기 어려운 부분도 있당... 읽어보고 모르겠으면 댓글 달아줘! 사실 나 수능 치고 수학 안 해서 틀린 부분이 있을 수도 있어... 그새 머리가 굳었을지도 몰라 흑흑 ㅡ지나가던 수학교육과 16학번이ㅡ