가우스가 19세에 이룬 정17각형 작도에 관해

굉장히 자주 올라오는 가우스의 정 17각형 작도 짤방입니다.

가끔 이게 무슨 의미가 있나 생각해보셨던 분들을 위해 간단히 설명하면

우선 가우스는 당시 위 짤방처럼 직접 작도를 한적은 없고.

다만 정 17각형의 작도가 가능함을 증명했다고 합니다.

위 처럼 눈금없는 자와 컴퍼스만 가지고 작도하는 작도를

유클리드 작도 뭐 기하학적 작도 이런식으로 부르는데

이 작도법으로 당시 정 2,3,4,5,6,8,10.... 의 작도는 가능했지만

정 7.9,11,13 .....  의 작도는 불가능 하리라 생각했었는데

이 와중에 가우스가 정 17각형의 유클리드 작도가 가능함을 증명한 겁니다.

그럼 가우스는 왜 하필 정 17각형을 증명했냐 하면

이를 위해서 페르마 소수가 등장합니다.

페르마 소수는 페르마가 예측한 소수들로

 

 을 따르는 소수를 뜻 합니다.

페르마는 해당 공식을 따르는 모든 수가 소수라고 예측했지만

오일러에 의해 n =5 일때인 4294967297 = 641 * 6700417 임이 증명되면서

페르마 소수는

3,5,17,257,65537 임이 알려졌죠

여기서 가우스는 3,5는 유클리드 작도로 작도가 가능하니

페르마 소수들의 정다각형은 작도가 가능하겠다 예측하고

정 17각형의 작도를 고민하게 됩니다.

그리고

이를 기하학적 방법이 아닌

대수적 방법으로 증명합니다.

 

그리고 마찬가지로 페르마 소수인 정 257, 정 65537 각형의 작도가 가능함을 대수적으로 증명하고

정 17 각형의 작도가 가능함을 증명한 5년후

n이 2의 거듭제곱과 서로다른 페르마 소수의 곱으로 이루어진 수일때 정n각형은 작도가 가능함을 증명합니다.

여기까지가 19세 가우스가 해낸 정 17각형 작도의 증명입니다.

그리고 이 작도의 증명이

작도라는 기하의 문제를 확장시켜서 대수로 보내서 풀어낸 최초의 접근이고

이 이후로 수많은 기하 문제들이 대수로 풀렸기 때문에 높게 평가한다고 합니다.

그리고 그걸 19세에 함........