쉽게 배우는 수학 이야기 - 세번째 주제. 수의 체계 (1)

안녕하세요

또 뵙네여

이번에는 수의 체계에 대해서

배워보도록 하겠습니다.

수...

수는 정말 무공무진 합니다.

우리가 흔히쓰는

1,2,3,4,5 이런 수 뿐만아니라

1/2, 0.3333, -1.5 ... 등등

정말 무수히 많은 수들이 존재 합니다.

그런데 이런 수를 정확한 기준으로 나눌 필요가 있지 않을까요??

오늘은 그것을 배우는 시간을 가져보도록 하겠습니다.

먼저 여러분

"자연수"

부터 생각해보죠

자연수는 쉽게 말해서

자연상에 있는 수를 말합니다.

즉

우리가 흔히 쓰는

1,2,3,4, .... 100,200,300, 300,000 등등

이 숫자를 셀때 전혀 문제없이 셀수 있고

가장 기본적인 수 라고 해서

수학자들은

"자연수" 라는 이름을 붙였습니다.

영어로도 (natural Number)  라고 합니다.

여기서 문제

"0도 자연수 인가요?"

아니요,

사실 0은

과거에 많은 수학자들로 하여금 논란을 많이

불러 일으킨 숫자입니다.

옛날사람들은 눈에 보이는 숫자

즉 1,2,3,4 와 같이 분명하게 셀수있는 것만

수로 생각해왔습니다.

그래서 0을 거의 숫자로 취급하지 않았지만

가령

90+1 이라는 계산을 하려고 할때

0+1 = ???

이 계산을 해야 됩니다.

그런데 옛날사람들은 0을 보이지 않는 수라고 해서

숫자 취급도 하지 않았는데

막상 일상에서 0과 덧셈해야되는 경우

곱셈해야되는경우

가 생기기 시작해서

그제서야 0에 대해서 연구하기 시작했습니다.

수학자들이 토론을 거쳐서

 내린 결론은

"0 is Nobody"

즉 0은 0일뿐 아무것도 아니고

0 + A = A

A-0 = A

A*0 = 0

0+0 = 0

0*0 = 0

이라는 결론을 내리게 됩니다.

0은 뒤늦게 수로 인정하기 시작했지만

자연수는 아니라고 못 박았습니다.

그냥 0은 0일뿐 자연수는 아니라고 약속을 했습니다.

(하지만 외국 초등학교 교과서에는 0을 자연수라고 가르칩니다.)

그냥 0은

자연수 이면서도 자연수가 아닌수 라고 생각하시면 될거 같아요...

그런데 여러분

만약 온 세상이 자연수로만 존재 한다면...

잘 돌아갈수 있을까요?

예를 들어서

우리가 날씨를 말할때

"영하 5도씨 입니다."

"-5 도씨 입니다"

라고 하지요?

그런데 분명

수는 앞에 (-) 가 붙은 경우는 보지도 못했는데

도대체 -5 는 어디서 온 수일까요?

이것 뿐만 아니라

빚 계산할때도

-100,00 원, 등등 앞에 (-) 기호가 붙는 경우를

흔히 볼수 있을것입니다.

이처럼

(-)가 붙은 어떤숫자를

수학자들이 많이 연구한 결과

위와 같이 정의하였습니다.

이때부터 "정수" 라는 개념이 만들어졌습니다.

그들이 말하기를..

"비록 (-) 가 붙은 수는 우리가 직접적으로 볼수는 없지만

간접적으로 체감할수있는 수" 이고,

"만약 이 수 체계가 없다면

많은 일상생활에서 큰 타격이 올것으로 예상 된다." >

라고 하여

(-) 기호를 붙은 수를  "음의 정수" >

라고  정의 하였습니다.

(영어로는 negative integer)

여기서 정수가 뭘까요?

위 그림에서 보다시피

자연수 와 음의 기호가 붙은 자연수 들의 모임

이라고 생각할수 있습니다.

그런데 여기서

"자연수 = 양의 정수"  

라는 사실을 알게 될것입니다.

왜냐!

양의 정수는

자연수에다가

+ 기호를 붙은거거 든요..

+1, +2, +3, +4 ...

그런데 통상

앞에 나온 +는 생략합니다.

즉

1 = +1

2 = +2

..

n = +n

이므로

양의 정수는 자연수 이고

자연수는 양의 정수 라는 사실을 알게 됩니다.

조금 복잡하신가요??

제가 지금까지의 내용을

다시 한번 정리한다면

위 그림과 같습니다.

이때 "0은 그냥 정수라고 정의합니다."

그리고 나서 수학자들이 연구했을때

정수에서 나타나는 특이 현상을 발견 하게 됩니다.

즉,

A 와 B 가 각각 어떤 정수라고 할때

A + B = B + A

A X B = B X A

입니다.

쉽게 말해서

어떤 정수 두개를 더하는데

뒤에거랑 앞에거 더하나

앞에거랑 뒤에거 더하나 결과는 똑같고

곱셈도 앞뒤 바꾸던지 말던지 해도 결과는 똑같습니다.

이것을 덧셈에 대한 교환법칙

곱셈에 대한 교환법칙 이라고 합니다.

그런데 주의하실점은

뺄셈이나 나눗셈에서는 성립되지 않습니다.

만약

어떤 정수 -3 과 4가 있다고 가정을 해봅시다.

먼저 저는

-3 - 4 를 계산 할텐데

그 결과는 -7입니다.

그런데 이번에는

4 - (-3) 을 계산해보도록 하겠습니다.

이때 -와 -가 곱해지면 + 가 되므로..

(이건 중학교때 나온거라서 다들 아실듯?)

4 + 3 이 됩니다.

따라서 결과는 7 입니다.

여러분

-7 과 7은 같은 수가 맞습니까?

아닙니다.

따라서 뺄셈에서는

교환법칙이 성립하지 않습니다.

이번에는 나눗셈에 대해서 예를 들어볼게요

어떤 정수 3과 4가 있다고 하면

먼저 저는 3 나누기 4를 계산하면

3/4 가 나오겠지요

그리고 이번에는

4 나누기 3을 계산하면

그러면 4/3 이 나오겠지요

그런데

3/4 = 4/3 이 같습니까?

아닙니다.

서로 아예 다른 수가 나와버립니다.

따라서 나눗셈에서는 교환법칙이 성립하지 않습니다.

따라서

제가 한 말을 한마디로 정리하면..

덧셈이나 곱셈에서만 성립합니다.

자... 제가 지금까지  

정수를 한번 설명해보았습니다.

여러분 어떠신지요? 괜찮으신지요?

다음시간에는 정수보다 큰 범위의 수를 함께 공부해볼것입니다.

원레 수의 체계를 한번에 끝낼 생각이었으나.

생각보다 분량이 많아서 아마 3부 까지 갈듯 싶습니다...

아무쪼록 추우실텐데 부족한 제글 읽어주신 여러분께 깊은 감사를 드리고..

다음 시간에 또 만나뵙도록 하겠습니다.

그럼 여러분 안녕히 주무세용!!