인스티즈앱 세 명의 총잡이가 서로 동시에 결투를 벌인다. 미스터 블랙은 백발백중의 사격 실력을 가지고 있으며, 미스터 그레이는 명중률 70%, 미스터 화이트는 명중률 30%의 실력을 가지고 있다. 총잡이들은 각각 서로의 사격 실력을 이미 알고 있다.
서로의 실력차를 감안하여, '화이트→ 그레이→ 블랙' 순서대로 발포하기로 한다. (죽지 않으면 또 쏠 수 있겠지만) 한 번에 한 발만 쏠 수 있다.
화이트는 어떻게 쏴야 가장 생존률이 높은가?
- 1. 블랙을 사살했다면
남은 그레이와 화이트의 대결이다. 그레이가 선제 공격권을 쥐고 있는 상황에서 화이트의 생존률은 약 11.39%[1]이다. 그레이의 생존률은 약 88.61%. - 2. 그레이를 사살했다면
다음 공격권을 블랙에게 있고, 남은 상대는 화이트밖에 없으며 블랙은 100% 명중률을 자랑한다. 화이트는 다음 기회도 없이 무조건 죽는다. 블랙의 승리 확정, 생존률 'ZERO'. - 3. 둘 다 죽지 않았다면
블랙은 생존 가능성을 키우기 위해 명중률이 높은 그레이를 쏜다. 그러므로 그레이는 블랙에게 기회가 가기 전에 블랙을 쏴죽여야 한다. - 3-1 그레이가 블랙을 죽이지 못하면 블랙이 그레이를 사살한 뒤 화이트가 블랙과 대결한다. 승률 30%.
- 3-2 그레이가 블랙을 사살했다면 화이트는 그레이와 대결한다. 이번엔 화이트가 선제 공격권을 갖고 있으므로, 승률은 약 37.97%이다.
이를 합산하면, 화이트의 생존률은 약 35.58%이다. 블랙의 생존률은 21%(0.7×0.3), 그레이의 생존률은 약 43.42%(1 - 나머지 둘의 생존률)
즉, 화이트의 생존률은 둘 다 살았을 경우가 어느 한 명을 죽였을 경우보다 높다. 누군가를 겨누고 상대를 없애는 것보다 상대를 살려두고 전쟁에서 한 발 빠지는 게 유리한 특이한 상황이 발생하는 것이다.
만약 누군가를 반드시 조준해서 쏴야 한다는 제약이 있다면 블랙을 향해 쏘는 게 이득이다. 이러면 화이트의 생존률은 약 28.32% 이 된다. 그리고 블랙의 생존률은 14.7%(0.7×0.3×0.7), 그레이의 생존률은 약 56.98%이다.
사실 '생존률' 극대화를 목표로 한다면 가장 좋은 방법은 모두가 허공에 쏘는 것이다. 이 경우 풀이는 다음과 같다. 블랙과 그레이 모두 자신이 승리함으로써 얻는 효용에 비해 죽음을 피함으로서 얻는 효용이 훨씬 크다고 하자. 그러면 화이트의 최적전략은 허공에 총을 쏘면서 2인의 대결로 좁혀지기를 기다린 후 선공권을 얻는 것이고, 블랙의 최적전략은 허공에 총을 쏘면서 다른 사람이 죽기를 기다리거나 혹은 자신에게 총을 쏜 사람을 처단하는 것이다. 이때 그레이는 블랙의 최적전략을 이미 알고 있다. 그렇다면 그레이가 블랙을 쏠 경우 자살이 된다. 게다가 화이트를 쏴서 맞추면 또 자살이 된다. 따라서 생존을 위해서 그레이도 허공에 총을 발사하고, 결국 모두 다 허공에 총을 열심히 쏘게 된다.
게임이론중 죄수의 딜레마와 더불어 가장 대중적인 이론이죠.