[이과주의] 이과를 위한 재밌는 물리이론 3가지를 알아보자

이 게시물은 이과분들도 혐오를 느끼실 정도로 혐오게시물입니다.

증명과정이 정말 시룸이기 때문에 이에 발생하는 피해는 작성자가 책임을 지지 않습니다.

PV = NRT or PV=NkT 증명

먼저 N개의 간단한 단원자분자 시스템을 고려합니다.

우리가 알고 있는 전체 에너지는 운동에너지+위치에너지로 정의되어 있습니다.

이것은 원자단위에서도 적용이 되고 그에 대한 수식은

로 정의가 됩니다.

여기서 각 기호에 대해 설명을 하면

그런데 입자들이 정확히 정해져있지 않고 임의의 i개의 입자들이 있습니다.

즉, 각각의 입자들이 가지고 있는 에너지는 서로 다름이 확실합니다.

그래서 우리가 일반적으로 알고 있는 U : 거시적인 에너지를 : 평균적인 에너지로 보아야합니다.

열통계역학에서 열평형에 있는 체계의 성질을 기술하는 함수인 

분배함수(Partiton function)를 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 β는 1/kT, h는 플랑크 상수입니다.

등온과정에서 매우 유용한 헬름홀츠 자유 에너지(Helmholtz free Energy)는

이며 Z(N, V, T)인 이유는 분배함수가 N(몰수),V(부피),T(온도)의 함수이기 떄문이며

V(부피)는 dr의 적분과정 중에서 생성됩니다.

여기서 A를 미분을 하게 되면

그리고 내부에너지 U = U(S,V)이므로 에 대한 미분은

이 식들을 정리하게 되면 다음과 같고, 여기서 압력 P에 대해 알 수가 있죠

압력 P까지 구했습니다. 하지만 분배함수 Z는 위에 써있듯이 굉장히 복잡합니다.

따라서 이 식을 간단히 해줄 필요가 있습니다.

PV=NRT라는 수식은 이상기체상태방정식이죠

즉 이상기체에 대해서만 사용이 가능합니다.

이상기체란 분자간의 상호작용 인력이나 척력을 무시할 수 있는 기체를 뜻합니다.

이 의미는 위치에너지를 생각하지 않아도 된다는 뜻이며

분배함수 Z에서 포텐셜 에너지를 없앨 수가 있습니다.

하지만 역시 이 여전히 분배함수 Z를 계산해야하는 문제가 남아있습니다.

계산이 복잡해 보이지만 의외로 간단합니다.

뒤에 더 복잡한게 있으므로 중간과정을 생략하고 결과만 생각하면

최종적으로는 소문자 z의 함수를 무한대에서 무한대까지 N번의 적분하는 계산만 남았습니다.

z를 다시 쓰게 되면 다음과 같고

계산을 더욱 쉽게 하기 위해 직각좌표계를 구좌표계로 변환시킵니다.

    

그럼 식은 다음과 같이 변하게 되고

극각에 대한 변수는 sin이고 방위각에 대한 변수 1이므로 이 두개에 대해서는 쉽게 적분할 수 있습니다.

드디어 수식에 나름대로 간단해졌군요.

하지만 이 수식 적분도 엄청 어렵습니다.

이 식을 적분하기 위해서는 Error Function erf(x)라는 개념이 필요합니다.

에러함수에 대한 정의는

이런 식으로 그래프가 그려지는 함수입니다.

현재 우리가 살고 있는 세상은 컴퓨터가 있습니다.

Integral-Calculator.com을 이용하여 적분을 이용하게 되면 최종적 z함수의 값은

그리고 분배함수 Z는

Λ는 드보로이의 파장이라고 부릅니다.

ln Z를 V에 대하여 편미분을 하게 되면 N/V를 얻게 되고

 최종적으로 PV=NRT 또는 PV=NkT라는 수식을 얻게됩니다.

이과주의]전투기가 지나갈 때 충격파는 왜 발생할까? 라는 주제로 글을 쓴 적이 있습니다.

그 글 중에 이런 그림이 있었습니다.

직사각형의 튜브를 예로 들어 가운데에는 막으로 막혀있고 

좌측은 압력이 높고 우측은 압력이 낮다고 합시다.

막고 있던 막을 터뜨리면 우측으로 매질이 움직이기 시작할 것입니다.

  그 움직이면서 발생하는 팽창파, 접촉불연속면, 충격파가 과연 진짜로 발생할까요??

이런 것은 사람의 눈으로는 확인하기가 매우 어렵습니다.

그것을 프로그램을 이용하여 한 번 확인해보겠습니다.

사용 프로그램은 상용CFD코드인 COMSOL Multiphysics v5.2입니다.

먼저 튜브를 2D로 가운데 기준으로 양쪽 7.5m로 했습니다.

메쉬는 굳이 많이 안필요할 것 같아 좀 거칠게 짰습니다.

초기조건을 모두 공기로 좌측을 10기압, 우측을 1기압으로 주었습니다.

즉 압력비율은 10배로 생각하시면 됩니다.

그리고 양쪽의 온도는 상온20도로 주었습니다.

그리고 경계조건은 양쪽으로 동일하게 발생하기 위해 위아래를 Symmetry로

양쪽은 Slip조건으로 주었지만 충격파가 거기까지 가지 않으므로 아무렇게나 주었습니다.

시간에 따라 확인해보기 위해 t = 0~0.001초까지 10개로 잘라 0.0001초마다 확인하도록 설정했습니다.

이것은 시간이 0초일 때 속도 분포입니다.

0초인데 띠가 좀 앞에가 있네요.

애니메이션 효과를 이용하여 0~0.001초까지 어떻게 변하는지 한번 보겠습니다.

맨위에 보여주었던 그림과 같이 좌측은 팽창파가 발생하고 앞에는 충격파가 발생하네요.

충격파 뒤에서 띠가 생겼다 사라졌다하는데 이건 접촉불연속면으로 보이네요.

시뮬레이션의 한계인지 보이지 않아야하는데......

하지만 이로써 충격파에 대한 어떠한 물리현상들이 발생하는지 알 수 있었습니다.

재미없는 글을 끝까지 봐주신 분들에게 감사합니다.

이번에는 외전? 이라는 느낌으로 음속이 어떻게 나왔는지 설명을 하려고 합니다.

수식이 굉장히 많이 나오므로 재미가 없을지도 모릅니다.

그래도 좀 수학이나 자연현상에 대해 관심이 있으신 분들을 위해 조금이나마

도움이 되면 싶으면 해서 올려봅니다.

시작하겠습니다.

음속

음속이란 바로 "음파가 전달되는 속도"입니다.

즉 어떤 경계면 사이에 서로 다른 값을 가졌을 때 Wave가 발생하게 된다는 뜻인데요.

                  

이런 형태로 P(압력), ρ(밀도), T(온도), v(속도)가 Wave경계면 사이에서 서로 변하게 되어 발생된다는 뜻입니다.

이제 음속을 유도해보겠습니다.

일단 가정을 합니다.

i) 정상 1차원 유동관계식

ii) 비점성 유동(속도가 빠르므로 점성을 무시할 수 있습니다.)

음속을 유도하는데 사용되는 방정식들입니다.

Sound Wave가 발생시 변화량들은

우측을 기본상태량이라 할 때 좌측은 dp, dρ, dv dT만큼의 변화량을 가지게 됩니다.

계산을 좀 쉽게 하기위해 좌표를 변환시켜보겠습니다.

Wave 경계면을 고정 즉 원점이라고 한다면 속도가 양쪽에서 a만큼이 차이나게 됩니다.

(예를 들어 달리는 두 차가 100km/h 80km/h로 가고 있다면 80km/h로 가는 차는

다른 차가 20km/h로 가는 것처럼 보입니다.)

이제 수식으로 돌아가서 유도를 해보겠습니다.

처음으로 

질량 보존 법칙으로부터

그리고 운동량 방정식으로 부터

이제 이 두 식을 서로 대입 후 정리하게 되면

자 이제 마지막입니다.

마지막으로 1식과 2식을 나누게 되면

이런 식으로 깔끔한 식이 나옵니다.

이 식이 의미하시는 바를 아시겠습니까??

바로 음속의 제곱값은 밀도 변화량에 따른 압력 변화량 값이라는 것을 알 수가 있습니다.

작성자 : 엽혹진 우주성애자 

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참고문헌 : THERMODYNAMICS AND AN INTRODUCTION TO THERMODSTATISTICS - HERBERT B. CALLEN

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