알아두면 쓸모있는 통계 상식)) 평균의 역설에 대해 들어보신적 있으신가요?

"St. Petersburg paradox"

평균이 항상 우리의 이해를 돕는 것은 아니다.

우리의 삶에서 평균은 어떤 표본을 대표하는 값으로 가장 흔하게 쓰인다. 여자의 평균 키는 약

160cm, 남자의 평균 키는 약 170cm, 이번 시험의 평균은 60점 등 평균의 활용은 너무나 쉽게

찾아볼 수 있다. 근래에는 사람들의 통계적 이해도가 높아지면서 평균이 갖는 힘이 언제 약해지는

지, 어느정도는 이해하기 시작했다. 대표적으로 평균 연봉에서 내 연봉은 왜 평균 연봉보다 한참 못

 미치는지를 깨닫기 시작했다. 평균은 이상치에 민감하다. 예를 들어, A, B, C 3명으로 이뤄진 

집단이 있다고 해보자. A는 한달에 1만원을 벌고, B는 2만원, C는 3만원을 번다고 가정한다면

평균 월급은 2만원이고 이는 누가 보더라도 집단을 대표하는 합당한 수치로 보여진다. 하지만,

A는 1만원, B는 60만원, C는 2만원을 번다고 생각해보면, 평균월급은 21만원이다. 과연 

21만원이 이 집단을 대표한다고 할 수 있을까? 분명 대표한다고 보기엔 힘들다.

 이제 위의 예시인 기본적인 수준을 넘어서, 한 단계 위의 평균에 대한 역설을 알아보자.

동전을 갖고 도박을 한다고 가정해보자. 앞 뒷면이 나올 확률은 각각 1/2로 같고, 동전을 던지는

행동이 반복되어도 확률은 그대로 유지된다고 가정해보자. 이 상황에서 동전의 뒷면이 n번째

시도에 처음 나올때마다 2^n 만원을 받을 수 있다고 한다면, 즉 첫번째 시행에서 뒷면이 나온다면

2만원, 두번째 시행에서 뒷면이 처음으로 나온다면 4만원.....

이 예시에서 내가 받을 수 있는 돈의 값에 대한 평균은 몇일까? 

평균을 구하는 공식을 바탕으로 계산해본다면, 

 가 되어 평균은 무한이 된다. (1 + 1 + 1 +.... 가 무한히 가므로)

무한히 시도한다면, 내가 얻을 수 있는 돈의 값이 무한대라는 결과가 나오므로, 

내가 카지노에 가서 이러한 도박이 있다면, 매판 100만원을 지불한다고 하더라도, 반드시 

이 도박에 참여해야하는게 평균에 기반한 판단이다. 하지만 이것이 옳은 판단일까? 당연히 아니다. 

이 문제는 상트페테르부르크의 역설로 불리며, 많은 경제학자, 수학자들이 해결하려 시도한

문제이다. 상트페테르부르크의 역설은 어느정도 이해하고 나면 단순한 문제처럼 보일지 모르지만, 

이를 해결하는 과정에서 효용이론, 전망이론, 행동경제학 등 경제학의 많은 이론을 발전시켰을 

정도로, 시사하는 점들이 많은 의미있는 문제이다. 이에 대한 해결법은 여러 종류가 있으나, 

대부분의 해결법은 비슷한 맥락에서 풀이된다.

동전을 계속해서 던져, 던진지 7번째 시행에서 처음 동전의 뒷면이 나왔다고 하자.  그 확률

은 1/128로 이런 시행은 100번은 넘게 던져야 1번쯤 나오는 확률이다. 15번째 시행에서 동전의

뒷면이 처음 나온다면? 확률은 1/32768로 30000번에 한번쯤 나오는 확률이 된다. 즉,

어느 수준을 넘어서는 시행들은 사실상 우리에게 일어나지 않는다고 볼 수 있다. 우리가

만약, 동전의 뒷면이 50번째에서 처음 등장하는 확률부터는 무시한다고 가정하면, 평균은

약 50으로 계산 될 것이다. 앞선 무한대와는 동떨어진 결과가 나오게 된다.

이 평균에 대해 보다 더 정확하게 계산하게 된다면, 게임을 N번 반복 했을 때, 얻을 수 있는

값은 N * log(2)N(밑이 2인 로그)으로 구해진다. 매 게임당 log(2)N정도의 수익을 기대할 수

있다는 것인데, 판수를 늘린다면 무한대로 발산하는 것은 맞지만, 로그 함수의 특성상 이는

매우 느린 속도로 증가하게 된다. 위의 예시를 이용한다면, 30000번의 시행 이상이 되었을 때,

평균 15정도의 기댓값을 얻을 수 있고, 매 판 15만원정도를 벌 수 있다는 것이다. 이는 이런 도박,

게임을 했을 때, 사용자 입장에서는 15만원 이상 지불 할 필요가 없다는 것을 말한다. (30000번

이상의 시행을 해야 15만원에 근사하는 것도 잊지말자.) 

위의 예에서 볼 수 있듯이, 평균에 기반한 사고는 종종 우리에게 오류를 가져다준다. 

단순한 오류가 아닌, 자신이 평균에 기반했다는 사실을 바탕으로 이성적인 판단을 내렸다는 착각은

더 큰 문제를 불어일으키고는 한다. 평균이 무한대니까, 이 게임이 얼마던 계속 하기만 하면,

큰 돈을 벌것이라는 착각은 상당히 매력적이게 보이기 때문이다. 하지만, 글을 읽고나면, 

여러분들은 더이상 그런 어리석은 결정을 내릴 필요가 없다.

P.S. 위의 N * log(2)N은 정확하게 말하면 N * log(2)N으로 확률 수렴하게 되고,

이에 대한 정확한 증명은, Measure Thoery, Probability Theory를 공부하면 알 수 있다.