초록글안녕, 난 수학 공부법을 알려주려고 해. 수학이 사실 어려운 과목이 아닌데 많은 친구들이 어렵다고 막연하게 생각하거나 노력해도 오르지 않는 과목이라고 생각하지.
나도 그렇게 생각해서 헛고생도 많이 했지만 ^^ 아무튼 가볍지만 아주 당연한 공부법을 깨닫고 난 뒤에는 점수가 100점에 가깝게 안정이 되었어.
이 방법은 재수하면서 깨달은 건데 깨닫고 나서 전국 석차 10위 내외까지 끌어올렸어.
나중에 과외할 때도 이 방법으로 내신 수학 60점짜리를 교내 수학 석차 1위로도 만들어봤고 말이야.
사실 흔히 하는 착각이 수학은 단순히 문제 푸는 과목이라고 생각하는데 절대 그렇게 생각하면 안 돼.
이 생각을 가지고 공부하면 어떻게 공부하냐면 개념 중에서 결과값인 "공식"만 덜렁 외우고 막바로 문제를 많이 많이 풀지.
그런데 이런 식으로 양치기 공부를 하면 쉬운 2~3점 문제는 어떻게든 맞추는데 4점 문제는 거의 틀리거나, 자기가 문제를 풀면서도
출제자가 왜 그런 문제를 출제하는지, 왜 이렇게 풀어야하는지를 이해하지 못하지.
사실 수학은 어느 학문보다도 스토리가 있는 과목이야.
교과서를 펼쳐보면 단순히 공식만 나와있는 것이 아니라 첫 장에는 옛날 이야기/수학자 이야기가 나오지.
그러니까 그 수학적 개념이 왜 등장했는가를 배경 설명부터 해주는거야.
그 때 시대에 어떤 어떤 문제가 있어서 이런 개념을 생각해냈다. 이런 식으로 그리고 그 개념을 생각하는 과정을 쭉 적은게 공식을 도출하는 과정이야.
공식, 결과값을 "일반적으로" 그리고 "논리적으로" 증명하는거지.
그러니까 공부할 때는 그 교과서를 쭉 읽으면서 단계, 단계별로 이것을 얘가 어떻게 증명하고 있는지를 정독하면서/손으로 쓰면서/머리로 궁금해하면서 적극적으로 공부해야해. 그리고 이 스토리를 완전히 외워야 해!
여기서 흔히 외워야 해! 하니까 그냥 무작정 암기하라는 거구나라고 생각하는데 그게 아니야!
수학은 다른 과목과 달리 추상적인 개념을 다루는 학문이라서 명확히 그 개념이 눈으로 명시 되지 않아.
그래서 머릿속으로 생각하면서 외워줘야 해. (그냥 국사 과목 암기하듯 외우는게 아니라.)
무슨 말인지 헷갈리지?
내가 예를 들어볼까, 수열을 배운 친구라면 알거야. 등차수열의 합 공식이 "S = n(n+1)/2" 라는 걸 말이지.
그런데 이 공식은 어떤 아이디어를 통해 도출되었을까?
어느날 수학 샘이 수업하기 귀찮아서 1부터 100을 칠판에 쓰고 학생들에게 이걸 다 더하라고 시켰어.
그러자 아주 똘똘한 학생이 1에서 100까리를 쓴 다음에, 그 밑에 다시 100부터 1까지 거꾸로 썼어. (거꾸로 쓰는 아이디어)
그리고 위, 아래를 더하니까 101이 100개 나왔지. 그리고 내가 알아서 2배를 한 것이니. 거꾸로 1/2배를 해주었어.
이것을 일반화한 것이 저기 저 등차수열의 합 공식인거야.
그 학생이 왜 이런 생각을 할 수 있었을까? 그것은 등차수열은 그 개념상 항 간의 "차이가 같다"라는 속성을 가지고 있었기 때문이야. (등차수열의 개념!)
그래서 그것을 이용해서 아래에 1부터 100을 거꾸로 쓰고 더한거지.
그러니까 등차수열을 공부할 때는 단순히 저기 저 공식만 외우는게 아니라
이 과정을 공부해야해.
실제로 수능의 응용문제는 저 개념에서 출제가 되는거야. (쉬운 문제는 공식만 알아도 풀 수 있게 나오는거고.)
내 가물가물한 기억 속에 수능 기출 문제 중에도 저렇게 "숫자를 거꾸로 쓰는 아이디어"을 차용해서 도형을 거꾸로 배치해서 등차수열 합의 원리임을 암시하는 문제가 있었어.
만약, 그 도형을 보고 아, 이게 등차수열 합 공식을 도출하는 아이디어구나라고 알아차렸으면 정말 몇 초만에 풀 수 있는 문제였지만
그렇지 않았다면 그 문제가 무슨 문제인지조차 헷갈렸을거야.
구체적으로 개념을 어떻게 공부해야하냐면 빈 종이에 그 논리를 "->"를 통해서 써가면서 직접 일반적인 증명 과정을 쓸 수 있어야 해.
이런 식으로 소단원별로 핵심적인 스토리를 파악하고 대단원을 정리할 때는 그 전체를 하나의 "생각나무"를 그려서 정리해야해.
(예전에 대치동 모 유명한 수학 강사가 이걸로 올림피아드 준비 학생들을 가르쳐서 히트를 쳤지. - 오래 전 이야기, 난 그 때 왜 이 공부법이 의미가 있는지 몰랐는데 나중에 저 공부법을 깨닫고 나서야 그 방법의 유용함을 알았어)
이렇게 종이 한 장씩으로 단원을 정리하면 개념을 확실히 정리한다는 차원에서도 좋지만
더 좋은 것은 "응용문제" 풀 때 좋은 단서가 된다는거야. 응용문제를 풀 때 흔히 문제부터 출발해서 어떤 개념이 있을까 찾는데
문제에 따라서는 거꾸로 이건 어떤 단원의 응용문제인데 그 단원에서 어떤 중요 개념이 있었을까 생각하면서 거꾸로 문제의 출제 과정을 짐작해보는거지.
이게 시험장에서는 굉장히 큰 힌트야.
이렇게 개념을 확실히 정리하고 문제를 풀어야 해.
사실 문제풀이를 개념 정리와 함께 할 수도 있는데 그것은 개념이 이렇기 때문에 이런 것을 묻는 문제가 나오기 때문이야.
그러니까 아주 추상적인 개념들을 구체적으로 문제로 만들려다 보면 물어볼 수 밖에 없는 기초문제들이 나와.
그래서 어떤 사람들은 기초/기본 문제를 다 외워라하기도 하지.
(사실 이 말이나 내가 앞에서 장황하게 설명한 개념 정리와 비슷한 의도로 말하는거야. 다만, 사람에 따라서 문제로도 충분히 그 개념이 잡히는 사람이 있고 반면에 나처럼 개념을 단계별로 밟아서 공부해야하는 사람도 있어. 그래서 난 후자를 더 추천하는거고.)
그 기초 문제는 사실 단원별로 많지 않아. 시중에 그런 식으로 정리된 문제집 중에 내가 과외하면서 찾은 책은 "쎈"이었어.
나는 입시 때 그걸 풀지는 않고ㅡ 알아서 기출문제를 분류해가면서 정리했어.
쎈이 문제가 모두 훌륭한 편은 아니지만 그래도 그나마 기초 문제 유형별로 잘 정리되어 있기는 했어.
요즘은 더 새로운 문제집이 나왔있을 수도 있겠다.
사실 개념을 정확히 파악하지 않아도 기초 문제는 쉽게 풀려. 위 공부법의 위력은 앞에서도 말했지만 응용문제에서 발휘되는 거야.
수능의 응용문제는 여타 시중의 모의고사 문제와 다르게 굉장히 개념에 천착되어 있어. 아주 문제가 깔끔하지.
그건 수능 출제위원들이 아주 수학 고수 덕후들이 모여 있어서 그런거야.
(예전에 검정위원으로 뛰셨던 분과 대화를 나누어 봤는데. 그 분은 평소에도 수학문제를 개념과 연관지어서 계속 고안하고 계시는 그런 분이었어 ㅋ)
보통 응용문제는 아무리 어려워도 최대 3단게로 풀리는데.
내가 말한대로 개념만 제대로 알고 있으면 개념에서 파생된 기초문제 접근법 + 핵심개념에 대한 이해로 다 풀려.
그런데 아주 어려운 보통 수능에서 출제자의 "결정구"로 사용되는 만점 방지용 문제 1~2개에서는 아주 가끔 "스킬/센스"이 필요할 때도 있어.
이건 사실 좀 애매한 건데. 특히 이과에서 그런 센스가 좀 필요해.
(타고나는 부분도 없지 않지. 그래서 갠적으로 스킬/센스를 요하는 문제는 그렇게 좋은 문제라고 생각 안 해. 보통 그런 스켈/센스를 요하는 문제는 대성/종로 모의고사에 많이 나타나 ㅋ 수학 내공이 작은 사람이 만드니까 그런 잡기술을 써서 문제를 만들지.)
이건 어떻게 해결해야할까?
사실 개념 부분을 마스터하고 나서는 문제 풀이를 해야하는데 응용문제는 생각보다 많지 않아.
내 경험상 문과 응용문제는 대략 200~300개 유형 정도로 잡혔는데 이거는 시중에 나온 수능, 평가원, 특수대학 기출문제, 서울/경기 교육청, 대성/종로 모의고사 정도 풀면 거의 마스터할 수 있어.
하루에 3개씩만 그것을 잡고 간다고 공부하면 넉넉히 3개월이면 마스터가 가능하지.
아무튼 대충 적어 봤는데 도움이 되었으면 좋겠다.
