문제풀이 제발 이거 회전체 부피 짱 쉬운 거 도와주라 ,,,, ㅠㅠㅠㅠ 40

 

이거 어떻게 푸는지 ,, 알려줄 수 있을까..?

[익인1]

파란 그래프는 y = x2
녹색 그래프는 y = x

보다시피 (1.1) 에서 만나. 그러므로 적분 구간은 x=0에서 x=1이야

그러므로 y = x^2 - x^4 을 x=0에서 x=1까지 적분해봐

[익인2]

내가 지금 떠오르는 풀이는 두 가지가 있는데 쓰니 니가 고딩인지 대학생인지 몰라서 일단 두 개 알려줄게

1. 대학과정일텐데 파푸스 굴딘 정리라고 회전체의 부피는 그 단면의 무게중심이 쓸고 지나가는 부피야
그러니까 저 단면적 구하고 그 무게중심을 구해. 이 경우는 x축 무게중심만 따지면 되니까 단면적을 이등분 하는 x 좌표겠지
그럼 그 x 좌표 기준으로 2 pi r 만큼 쓸고 지나간다고 해서 (단면적) * 2 pi r 하면 돼

2. 고등학교 수준으로는,,
이거 적분하면 좀 그릇 모양으로 되잖아? 샐러드 볼 마냥
그럼 일정한 높이에서의 단면적을 구하는 거야

그니까 그 그릇을 수평하게 잘랐을 때 그 단면적이 나오지? 도넛 모양으로
그걸 단면적의 일반항으로 놓고 높이로 이중적분하는 거야

풀어보자면 높이 h에서 도넛 단면적의 바깥 반지름은 h,
안쪽 반지름은 루트 h,
따라서 높이 h에서의 단면적 S(h) = pi h^2 - pi h = pi (h^2-h)

이제 S(h)를 h=0부터 h=1까지 적분하면 되지