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클레이 수학 연구소에서 7개의 수학 문제에 한 문제당 상금 100만 달러를 걸었습니다.
한화로 계산하면 11억이 됩니다.
1. P-NP
P는 결정론적 튜링 기계를 사용해 다항 시간 내에 답을 구할 수 있는 문제의 집합이고, NP는 비결정론적 튜링 기계를 사용해 다항 시간 내에 답을 구할 수 있는 문제의 집합이다. 여기에서 결정론적 튜링 기계에 사용한 프로그램을 비결정론적 튜링 기계에 적용할 수 있으므로, P는 NP의 부분집합이 된다. 하지만 여기에서 P와 NP가 같은 집합인지, 아니면 P가 NP의 진부분집합인지는 아직 밝혀지지 않았다.
2. 호지추측
대수기하학에서, 호지 추측(Hodge推測, 영어: Hodge conjecture)은 비특이 복소 대수다양체의 대수적 위상수학에 대한 주요 미해결 문제이다. 가설의 개요는 드람 코호몰로지류들이 대수적이라는 것이다. 즉, 이 코호몰로지류들은 부분 대수다양체들로 나타낼 수 있는 호몰로지류들의 푸앵카레 쌍대들로 나타낼 수 있다는 것이다.
응?????
최초로 해결된 문제!!!!!!!!
3. 푸앵카레의 추측
푸앵카레 추측은 4차원 초구의 경계인 3차원 구면의 위상학적 특징에 관한 다음과 같은 정리이다.
모든 경계가 없는 단일연결 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다.
이 명제는 앙리 푸앵카레의 1904년 논문에 처음 등장하는 추측으로, 우주의 형태에 대한 추측과도 밀접한 관련이 있다.
2002, 2003년에 발표된 러시아의 수학자 그리고리 페렐만의 출간되지 않은 논문들에서 증명되었다. 밀레니엄 문제 중 최초로 해결되었다.
페렐만은 미국 여러 대학교를 순회하면 강의하다가 홀연히 자취를 감추었다.
수학계의 노벨상인 필즈상 수상자로 결정되었으나 거절.
상금인 100만 달러도 별 관심 없어다고 하네요.
위상기하학에서, 2차원 구면과 1차원 구면(원주)는 단일연결이라는 근본적인 특징을 가지고 있는데 3차원 표면에서도 구에 대해 그러한 사실이 성립하는지에 대한 것이다. 구체적으로 어떤 하나의 닫힌 3차원 공간에서 모든 폐곡선이 수축되어 하나의 점이 될 수 있다면 이 공간은 반드시 원구로 변형될 수 있다는 것이다.
4. 리만 가설
수학에서 리만 가설(영어: Riemann hypothesis) 또는 리만 제타 추측 은 1859년 베른하르트 리만이 처음 제안한 것으로 수학사의 미해결 난제 중 하나로 유명하다. 이 가설은 리만 제타 함수의 값이 0이 되는 모든 자명하지 않은 복소수 근의 실수부는 1/2라는 추측이다. 리만 가설은 음의 짝수 자명한 근을 제외한 복소수의 근만을 다룬다.
리만 가설은 소수의 규칙성과 연관되어 있는 것이 특징이다. 이 문제는 순수수학에서 해결되지 않은 중요한 몇 가지 수학 문제 중 하나이다. 리만 가설은 힐베르트의 힐베르트의 문제들 중 골드바흐의 추측과 함께 힐베르트의 8번째 문제와, 클레이 수학연구소의 밀레니엄 문제 중 하나에 속한다. 이것은 공식화된 이후에도 미해결된 상태로 남아 있다.
리만 제타 함수 ζ(s)의 ‘자명한’ 근으로는 음의 짝수가 있다.(s = −2, −4, −6, ...). 리만 가설은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 근의 실수부가 항상 1/2라는 것이다.
제타 함수 수식
제타 함수
제타 함수는 위의 오일러의 수식에서의 제곱을 모두 x 제곱으로 바꿔놓은 함수
무질서한 소수로 이루어진 제타 함수의 제로 점들은 정확이 일직선상에 존재한다.” 이것이 이후 많은 천재 수학자들을 절망의 구렁텅이로 밀어 넣은 무시무시한 리만 가설의 시작이었습니다. 리만은 직감적으로 나머지 제로 점들도 모두 일직선상에 존재하지 않을까 하는 생각을 하게 되었고 이것을 수학적으로 표현한 것이 바로 “제타 함수의 비 자명한 제로 점들은 모두 일직선상에 있다”라고 하는 리만 가설인 것이었습니다. 즉 리만 가설은 “소수의 배열에 규칙성이 있는가?”라고 하는 물음을 “제타 함수의 비 자명한 제로 점들은 모두 일직선상에 있는가?”하는 수학의 문제로 바꾼 것이었습니다.
5. 양 - 밀스 질량 간극 가설
양-밀스 이론의 존재와 질량 간극. 임의의 콤팩트하고, 단순한 게이지군 G에 대해서, R4 상의 자명하지 않은 양-밀스 이론이 존재하여, Δ > 0 의 질량 간극을 가짐을 증명하여라. 존재의 증명은 적어도 [45, 35]에 인용한 것만큼 강한 공리적 성질을 구성하는 것을 포함한다.
”
여기서
양-밀스 이론은 입자 물리학의 표준 모형에 내재하는 (비 아벨) 양자장론
R4는 4차원 유클리드 공간
질량 간극 Δ 는 이론에서 예측되는 가장 가벼운 입자의 질량이다.
따라서, 수상자는 우선 양-밀스 이론이 존재함을 증명해야 하고 이는 현대 수리물리학에 사용되는 엄밀함을 만족해야 한다. 특히 공식 설명에서 제프와 위튼이 인용한 45와 35의 논문에 사용된 구성적 양자장 이론에 입각한 엄밀함이 필요하다. 그 후 수상자는 이론에 따라 예측된 장의 가장 가벼운 입자의 질량이 명백히 양수임을 보여야 한다. 예를 들어 G=SU(3) (양자 색역학)의 경우 수상자는 글루볼이 질량의 하한이 있어서 임의로 가벼울 수 없음을 증명해야 한다.
이 문제를 최근에 한국의 한 교수가 풀었다고 발표를 하였다. 클레이 연구소는 2년 간의 검증과정을 거쳐 오류가 없을 시에
상금을 지급하다고 한다.
6. 나비에 스톡스 방정식
이 방정식이 광범위하게 사용되고 있지만 이 방정식의 3차원 해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했다.
7. 버츠와 스위너톤-다이어 추측
수론에서, 버치-스위너턴다이어 추측(영어: Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)은 수체 상의 타원곡선 E의 점들이 이루는 아벨 군의 계수와 그 하세-베유 L-함수 L(E, s)의 s = 1에서 갖는 근의 차수가 같다는 추측이다. 수학의 주요 미해결 문제의 하나이다.
알싸인들도 도전해보길.
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