인스티즈앱 안녕하세요
또 뵙게 되네요
어젯밤은 안녕히 주무셨는지요
ㅎㅎㅎㅎㅎ
이번시간에는 저번시간에 계속 이어서 수의 체계를 학습해보는
시간을 가져보도록 하겠어용
지난 시간에
우리가 정수 까지 했었죠?
다시 한번 복습해볼까요?
자연수 = 가장 기본적인수, 가장 자연스러운수 (1,2,3,4 ... )
라고 정의 하고
이때 0은 자연수가 아닙니다.
"0은 그냥 0이고 정수이다" 라고 했죠!
그리고 0보다 작은수 즉, 음의 정수 (-1, -2, -3 ... ) 가 있었고
양의 정수 = 자연수 이죠
그래서 정수는
음의정수 와 0과 양의 정수 들의 모임
라고 하지요
그런데 여러분
1과 2사이를 생각해보아요
1과 2사이는 1과 2 뿐만 아니라
다른 수,
즉 소수나 분수들이 올수도 있지 않을까요?
즉 1과 2사이에
3/2 라던가
1.23... 이라던가
1.66677 이라던가
1.586100 라던가
1과 2사이에는 자연수나 정수는 아니지만
무수히 많은 어떤수 들이 존재를 한다는 사실을
알게 될것입니다.
이때, 수학자들은 이들을 명확한 기준으로 하여금
나눌 필요가 있다고 생각했습니다.
그래서 탄생한 것이
"유리수"와 "무리수" 입니다.
먼저 "유리수" >를 하기전에..
소수 라는 개념을 다시한번 짚어볼까요?
가령
우리가
25/100 라는 분수를 표시할때
좀더 간단히 할 필요가 있지 않을까요?
뿐만 아니라 어떤 분수
15055/100000 이라는 분수가 있을때
이게 얼마인지 잘 체감이 되지 않을것입니다.
그래서 분수를 다르게 표현할수 있는 방법이 없을까? 하고
탄생한것이 소수 입니다.
우선 소수는 분모가 10을 기준으로 잡고
라고 정의를 내렸습니다.
즉 분모를 10진법 기준으로 잡고
자릿수를 표현한것을 소수 라고 정의 하였습니다.
소수는 어떤 두 자연수 사이에 나타나는 분수를
간단하게 자리수로 표현하고자 탄생하였습니다.
즉 25/100 은
0.25 이고
15055/100000
0.15055
라고 표현합니다.
결국 분수나 소수나 표현만 다를뿐
같은수 입니다.
이때 분수에서 소수의 변환방법은..
B를 A로 나누면 소수로 나타내어 집니다. (오타수정 입니다.)
그런데 여기서!
1/3 이라는 분수를
소수로 표현하고자 하면..
0.3333333333333.....
이라고 나오는데
계속 끝없이 무한으로
0.333333333.... 이 펼쳐집니다.
3이 평생 무한으로 펼쳐집니다.
뿐만아니라
0.77777.... 0.121212121212.....
등등 무한으로 펼쳐지는 소수를 발견하게 됩니다.
이처럼 소수에서 같은수가 계속 반복되는것을
"순환 마디" 라고 하고
0.44444.... 0.125125125125125125... 0.343434343434...
위와 같은 소수들을 간단히
"순환소수" >라고 하죠
그런데 이 순환하는 무한소수를
좀더 간단하게 나타낼수 있지 않을까요?
그래서 수학자들은 어떻게 약속했냐
라고 하여 0.AAAAAAA.. 를
순환하는 수에 즉, 순환 마디에
점을 찍어서 간단하게 표현하기로
약속했습니다.
그렇다면
0.ABABABAB... 는 어떻게 될까요?
A와 B가 계속적으로 반복되므로
(AB가 순환마디 이므로)
위와 같이 표현하면 됩니다.
여기서 질문
"그러면 순환하지않는 무한소수도 있어요?"
네, 있어요
아무런 규칙성도 없고
제멋대로 무한으로 펼쳐지는 소수를
"순환하지 않는 무한소수"
즉 "비순환 소수" 라고 합니다.
대표적으로
원주율이 있습니다.
원주율은
(위 그림은 그냥 재미로 봐주세용)
어떤 원의 둘레를 구하고자 할때
원의 지름과 동일안 직사각형을
계속 원에 접근시켜서 그 근사값을 구하면
원주율이 나옵니다.
원주율 뿐만 아니라
즉,
어떤 같은수 두개를 곱했는데 2가 나오는 수
1.141415.....
(1.141415.....) X (1.141415.....)
=1.999998 ≒ 2
어떤 같은수 두개를 곱했는데 3이 나오는 수
1.7320508....
(1.7320508....) X (1.7320508....)
=2.99999888...
≒ 3
어떤 같은수 두개를 곱했는데 5가 나오는 수
= 2.2360679...
(2.2360679... ) X (2.2360679...)
=4.9999998
≒ 5
즉, 제곱근에도 순환하지 않는 무한소수가 나옵니다.
지금까지 한 내용을 정리를 해본다면
자연수 두 수 사이에는 무한이 많은 분수들이 존재하는데
그것들을 간단히 자릿수로 표현한것이 소수였고
소수는
순환하느냐, 순환하지 않느냐, 그냥 소수냐,
이 세가지 경우의 수가 나옵니다.
이때 "유리수"와 "무리수" 라는 개념이 탄생하게 되었는데
유리수는 말그대로
유리한 수라는 거에요
즉, 이걸 분수로 유리하게
표현할수있냐 없냐로 구분을 해놨습니다.
예를 들어보죠
1은 1/1 입니다.
그래서 1은 유리수 입니다.
어떤 자연수 A는
A = A/1 이므로..
(어찌됐든.. 분수로 표현할수 있잖아요?)
자연수는 모두 유리수 입니다.
소수도 유리수 일까요?
네,
0.3은 3/10 입니다.
그래서 0.3은 유리수 입니다.
그렇다면
"순환소수는 유리수 일까요?"
네,
순환소수도 분수로 나타낼수 있으므로
다음과 같이 계산하면
얼마든지 순환소수는 분수로 나타낼수 있습니다.
그래서 "순환소수도 유리수" 에 포함됩니다.
여기서 질문
"순환하지 않는 무한소수는 유리수인가요?"
아니요,
순환하지 않는 무한소수는
근사하게 분수로 나타낼수 있습니다만,
아주 정확하게 분수로 나타내기는 무리 입니다.
그래서 순환하지 않는 무한소수들은 모두
"무리수" 라고 정의 하였습니다.
말그대로 무리하다는 거에요
위에서 보았던
루트2, 루트3, 루트5 ... 원주율 등등
분수로 나타내기는 무리이기 때문에 무리수 라고 합니다.
이때 유념해야도리 사항은
수학에서
유리수 무리수는
양수에만 국한 되는것이 아니라
음수에도 포함이 됩니다.
즉
-1은 유리수 입니다. (-1/1)
-0.5 는 유리수 입니다. (-25/100)
-원주율은 무리수 입니다.
-루트 2는 무리수 입니다.
즉 유리수 무리수는
플러스 마이너스 부호 상관없이
모든 수에 작용을 합니다.
이때,
모든 유리수 무리수를 통틀어서
"실수" >라고 합니다.
실수는 말그대로
실제로 존재하는 수를 의미해요
그림으로 정리하면..
다음과 같습니다.
이때 "정수가 아닌 유리수"의 의미는
"(-), (+) 붙은 모든 소수나 분수"
를 의미해요
위 그림에 따라서..
-1 도 실수이고
0.25도 실수이고
원주율도 실수이고
루트2도 실수입니다.
모두 실제로 존재하는 수 이므로 실수 입니다.
이때 실수에서 두가지
중요한 성질이 있습니다.
첫번째로, 실수는 곱셈 나눗셈 덧셈 뺄셈등 사칙연산을 자유로이 할수있습니다.
그 결과도 언제나 실수로 나옵니다.
두번째로, A 와 B 가 실수이고
B가 A 보다 큰 실수일때는
즉 (B>A) 일때
항상 A와 B 사이에는 무수히 많은 다른 실수들이 존재합니다.
예를들어
1과 2 사이에는
1.5, 루트2, 1.1, 1.1111111... , 1.1510151, 등등
무수히 많은 실수들이 존재를 합니다.
자 이제..
오늘 한걸 요약정리 해볼게요
자연수와 자연수 사이에는 무수히 많은
수들이 존재하는데
이것들은 분수 혹은 소수로 나타낼수 있으며
이때 소수는
그냥 소수인 경우와 무한이 반복되는 소수
무한한 소수인데 불규칙적인 소수 세가지 경우가 있었습니다.
이때 자연수와 일반 분수나 소수와 순환하는 소수는
모두 유리수라고 칭했고
순환하지 않는 무한소수를 무리수 라고 칭했습니다.
이 모두를 통틀어 실수라고 정의 하여습니다.
실수를 사칙연산을 하면 결과는 실수가 나오고
두 실수 사이에는 무수히 많은 다른 실수들이 존재를 합니다.
그런데 실제로 존재하는 수 말고도
실제로 존재하지 않는 수를 수학자들이 정의 하였는데..
이것은 다음시간에 다루도록 하죠
자 오늘 어떠셨나요?
재밌었나용??
ㅎㅎㅎㅎ
다음 시간에는 실수 밖에 다른 수들을 한번
알아보도록 하겠어요
모두 즐거운 수요일 되시고
저는 이만 여기서 마치겠어요
안녕히 계세용!
현재 𝙈𝙄𝘾𝙃𝙄𝙉 달란트라는 명예영국인 몸 프레임..JPG