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리만의 가설
밀레니엄 문제의 하나로 수학자 '베른하르트 리만'이 세운 가설이며 수학사에 길이 남게될 최악, 최고난도 떡밥문제. 그리고 인생을 걸고 영생을 얻을 수 있는 복권. 현세대 정수론의 끝판왕 문제중 하나.
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2 어떤 문제인가 ¶일단 NHK 다큐멘터리를 보자
영상을 아주 간단하게 요약하면 이렇다. 수학자 오일러는 소수(더 이상 나눠지지 않는 수)의 규칙성에 대해 연구를 하는데, 2 3 5 7 11 13 17 19.....13999 14009....로 무한하게 나오는 소수들에서는 어떠한 규칙도 찾을 수가 없었다. 하지만 결국 오일러는 소수의 분포를 대략적으로 알아내는 함수를 찾게된다. 그리고 훗날의 수학자 리만은 오일러의 함수를 변형하여 입체적인 그래프를 만드는데, 놀랍게도 이 그래프에서 리만이 계산한 4개의 제로점은 모두 일직선상에 있던 것이다. 그래서 리만은 다른 제로점 역시 모두 일직선상에 있는 것이 아닌가.. 라고 추측한 것이 리만 가설의 대략적인 이야기다.
리만이 가설을 내놓은 이후, 많은 유명 수학자들이 이 것의 증명에 도전했지만 실패하였다. 단지 그 과정에서 얻어진 성과는 리만의 제로점들 뒤로 일직선상에 무수하게 많은 제로점들이 있다는 것. 하지만 일직선을 벗어난 곳에 제로점이 있을 가능성을 배제할 수 없기 때문에 증명이라고 할 수 없었다. 그리고 공교롭게도 천재 수학자인 내쉬가 이 것을 연구한 이후 정신분열증이 생겼기 때문에 한동안 수학계에는 이것에 대해 연구하는 것을 꺼리는 분위기가 생기게 된다. 하지만 우연한 수학자와 물리학자의 만남에서 리만 가설이 원자학과도 관련이 있다는 것이 알려지면서 소수의 규칙이 자연의 원리로 재 조명 받으며 다시 연구되기 시작했다는 이야기.
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3 수학적 설명 ¶리만 가설은 소수의 분포, 즉 보다 정확히 말하자면 주어진 수보다 작은 소수의 개수 π(x)에 대한 문제와 관련이 있다. 가우스는 관찰을 통해 이 π(x)가 x/log(x)에 근사한다는 소수정리(prime number theorem)을 제시하였고, 이 '소수의 규칙'을 얼마나 정밀하게 나타낼 수 있는지가 사실상의 리만 가설의 내용이다.
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3.1 리만의 논문 ¶리만 가설은 리만이 1859년 '주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse)' 라는 논문에서 처음 밝힌 가설이다. 이 논문에서 리만이 한 일은...
- 리만 제타 함수 (Riemann zeta function)를 s의 실수부가 1보다 큰 복소수일 때 다음처럼 정의하였다.
ς(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ... ... - 이 제타함수의 정의역을 s = 1을 제외한 복소수 범위로 확장하였다. 확장한 함수는 s = -2, -4, -6, ... 에서 자명한 근(trivial zeros)을 갖고, 나머지 근들은 실수부가 0부터 1 사이인 범위에 분포해 있다. [1]
- 이 비자명 근들의 실수부는 모두 1/2이라는 가설, 소위 리만 가설을 제시하였다. 리만은 '이것에 대한 증명은 별로 안중요해 보임. 그러니까 증명생략.' 이라고 외치고는 바로 본론에 들어간다.
- 가장 중요한 부분인데, π(x)를 나타내는 공식을 제시하였다. 그 공식은 제타함수의 비자명 근들에 대한 합으로 나타난다. 현대적인 언어로 이를 동치인 형태로 나타내면 다음과 같다.
ψ(x) = x - Σρ xρ /ρ - log(2π) - log(1-x2 )/2
여기서 ρ는 제타함수의 모든 비자명 근들이고, ψ(x)는 체비셰프 함수 ψ(x)=Σp
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3.2 리만 이후 ¶리만의 논문은 소수정리의 사실상의 접근방법을 제시하였다. 위의 공식을 보면 알겠지만, "리만-제타 함수의 모든 복소수 근의 실수부는 1보다 작다" 라는 사실만 증명해도 소수정리가 증명된다. 이 사실은 아다마르와 푸생에 의해 무려 37년이 지난 1896에야 증명되었다. [3] 비슷한 아이디어로 등차수열을 이루는 소수들에 대해서도 소수정리 비슷한 내용이 성립함이 1936년 지겔-왈피쯔 정리(Siegel-Walfisz theorem)로 증명되었다.
현대수학자들은 그 이후로도 소수의 규칙에 대한 수많은 부수적 성과들을 계속 찾아내고 있지만, 리만가설에 대한 질적인 진전은 거의 나오지 않고 있다. '근의 실수부가 어떤 ε에 대해 1-ε보다도 작다'는 명제도 증명이 되지 않고 있을 정도이니. 대부분의 수학자들은 리만가설을 증명하기 위해서는 듣도보도 못한 새로운 기법이 필요하다는 것에 동의하고 있다.
하지만 이 리만가설을 뒷받침하는 수없이 많은 수치적 증거나 휴리스틱(heuristic) 등으로, 대부분의 수학자들이 리만가설을 참이라 믿는 것도 사실이다. 현대수학자들은 리만가설 자체에 더불어서 제타함수의 근들의 허수부가 '임의로' 분포한다는 가설도 믿고 있다. 이를 소수정리와 연관시켜서 이야기하자면, 리만가설은 소수정리의 오차항 (ψ(x) - x) 이대략 x1/2 의 크기라는 것과 동치인데, 사람들은 이에 더불어 이 오차항이 랜덤하게 진동한다고까지 생각하는 것이다. 이 문단의 내용을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것은 생략하도록 한다.
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4 이걸 풀면 어떻게 되는가 ¶수학자들은 외계인을 만난다면 그들에게 이것을 증명가능한지 물어볼 것이라고 한다. 힐베르트는 죽은후 500년 뒤에 깨어났을때 가장 먼저 '리만 가설이 증명되었습니까? ' 라고 물어보고 싶댄다.
만약 이것을 풀게 된다면 인류가 멸망할 때까지 수학 교과서, 특히 대수학이나 정수론 교과서에 그 이름을 싣게 될 것이다. 또한 이 문제에 100만 달러나 달려있으며, 만약 이 가설의 증명에 성공하거나 반례를 발견한다면 진심으로 억만장자가 되는것은 시간문제. 물론 이것에 매달려 다른 것을 하지 않다가 이것마저 못 풀 가능성이 훨씬 크지만. 그리고 당신의 인생이 꼬일수도... 세상에서 100만 달러를 버는 가장 어려운 방법이라는 농담도 있다 그래도 도전하고 싶다면, 그 전에 아래에 나오는 도전자들을 살펴보자. 물론 이 문제에 도전하는 것은 그 누구도 말리지 않는다....
소수와 암호체계와의 연관을 통해서 RSA 등등의 암호체계의 안정성이 깨지느니 마느니에 대한 이야기가 있는데, 리만 가설이 증명되거나 반증된다고 해서 RSA의 안정성이 깨진다는 결과는 전혀 없다. 적어도 현재까지는. 이는 리만 가설이 흔히 '소수의 규칙을 찾는 문제'로 소개되는 까닭으로, 리만 가설이 특정한 규칙을 제공해줄 것이라는 순진한 오해에서 오는 것이다. 하지만 사실 리만가설과 더불어 현대수학자들이 믿는 내용은 '소수의 규칙은 없다'는 것이다. [4] 다만 물론 리만 가설의 증명 또는 반증과정에서는 필연적으로 듣도보도 못한 수학적 이론이 나올 것이며, 이것이 무슨 파장을 가져올지는 아무도 모른다는 것은 부정할 수는 없다.
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5 도전자들 ¶리만 가설을 풀다가 골로 간 사람 중에 대표적인 인물이 존 포브스 내쉬.[5] 본인 말로는 워낙 수와 논리에 집중하다 보니 그렇게 됐다고.[6] 물론 지금은 정신분열증이 완화되었지만, 이 사람이 정신분열증으로 학계에서 아웃되고 난 다음부터 1996년 수학계에서 열린 컨퍼런스 직전까지는 리만 가설은 수학계에서 금기시되었다. 예전에는 "나 리만 가설 풀고있음."이라고 말하면 좀 안 좋은 시선으로 바라봤다고. 그러나 최근에는 리만 제타 함수의 '자명하지 않은 근'들의 분포가 양자역학과 관계있음[7] 이 밝혀지는 등 리만 가설의 중요성이 재조명되었고, 리만 가설을 연구하는 인원도 많아졌다. 물리학계까지 팔을 뻗힌다는 소리이다...
워낙 어렵다보니 수학자들 사이에선 '리만 가설을 풀면 영생을 얻게 된다'는 소문까지 난 적이 있다. 이는 절대 풀리지 않는다는 말과 수학자로서 그 기록이 영원히 남는다는 뜻을 모두 가지고 있다. 또한 리만 가설이 풀리지 않는 이유는 '문제 자체는 풀린 적이 있으나, 해답을 알게 된 순간 미쳐버리거나 갑자기 죽어버리기 때문에 알려지지 않는 것'이라는 소문도 있다. 이 문제에 대한 수학자들의 애증을 잘 보여준다. 하지만, 이게 또 신빙성(?)이 있는게, 원래는 리만 가설이 아닌 소수 가설을 풀면 영생을 얻게 된다 라는 소문이었으며, 실제로 소수 가설을 증명한 수학자들은 터무니 없이 오래 수학자로서 활동했기 때문이다.
유명한 수학자인 하디(G. H. Hardy)가 배를 타고 영국으로 돌아갈때 안전한 항해를 위해 '리만 가설을 증명했음'이란 개드립쪽지를 보험삼아 남겼다는 일화가 있다. (자신이 죽으면 증명했는데 안타깝게 죽었다고 사람들이 믿을 것이고, 신이 철저한 무신론자인 자신에게 이런 영광을 허락하지 않을거라며... 무신론자[8] 래매)[9] 실제로 하디는 1/2를 실수부로 갖는 해가 무한하단 걸 증명한 바가 있다.[10]
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6 대중문화에서의 리만 가설 ¶미국 드라마 numb3rs에서 "리만 가설을 풀었다."고 말하던 (실제로는 오류가 있었다) 수학자가 암호 해독을 노리는 악당들에게 딸이 납치되는 에피소드가 나오기도 했다.
히가시노 게이고의 용의자 X의 헌신에서는 유가와 마나부가 자신의 동창인 이시가미를 만나러 올 때 리만 가설을 증명하는 논문을 가져와 대학 때 '달마'라는 별명을 가졌던 이시가미를 시험해본다. 이시가미는 논문을 받고 거의 5~6시간 만에 그 논문의 오류를 찾아내고, 유가와는 이를 보고 '달마는 건재하다'며 만족하고 돌아간다.
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7 리만의 비화 ¶상술했다시피 위 리만의 논문은 무려 10페이지에 현대정수론의 정수를 담아내었다. 대부분의 중간과정과 계산과정이 생략된 이 논문은 당연히 매우 어려웠지만[11], 그 파장은 엄청났다. 또한 이와 더불어 리만은 실제로 제타함수의 첫 4개의 근을 정말 뜬금없이 제시하였다.[12] 그래서 이 논문이 나온후, 주위 수학자들은 리만을 엄청나게 직관적인[13] 수학자라고 취급했고, 그를 찬양하기 시작했다.
그러나 그건 모두 오해였는데, 나중에 리만이 죽은후 그의 집에서 불태워[14] 지기 직전의 자료중 하나에서 발견된것으로 보아 리만은 엄청난 노력쟁이였다. 논문에 써져있던 모든 근의 계산을 진짜로 빠짐없이 해낸것이 발견된것. 결과적으로 논문의 무심한듯 시크함에 매료된 수학자들의 찬양을 받았지만
하나 알아두어야 할 사실은 그때는 컴퓨터도 없었을 뿐더러 계산을 약간이라도 쉽게하는 오일러의 업적[15]이 제대로 사용되지 않았을 때라는거다. 컴퓨터가 생기기 이전까지만 해도 이 방법을 통해서 계산한것으로 보면 이 방법이 컴퓨터가 없는한 최선인데, 이 방법조차 없던때에서 10개정도의 근을 내보인것. 알만한 사람은 알겠지만, 근 자체가 '복소수'[16] 인데다가 그걸 감마함수(계승함수)에도 넣고, 삼각함수에도 넣고 쌩쇼를 다 한다음에 곱해야지 제타함수의 값을 알수있다. 그러니까 리만은 직접 하나하나 다 대입해서 10개정도의 근을 찾은것이다.
그러니까 고등학교 수준으로 설명하자면 한 807546845차(...) 정도의 방정식이 있는데, 이 함수의 모든 근을 '중간값의 정리' 만으로 구하라는 느낌?[17]
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8 기타 ¶리만 가설은 '소수의 규칙성을 찾는 문제에요'하고 일반인들에게 그나마 쉽게 어떤 문제인지 설명할 수 있기 때문에 다른 밀레니엄 문제보다 작품 상에서 쉽게 접할 수 있다. 다른 문제는 도대체 어떤 문젠지 설명하는 것 조차 거의 불가능하니.[18]
참고로 리만 가설은 다른 밀레니엄 문제보다 훨씬 이른 시기부터 주목을 받아 왔던 문제이다. 정확히 1900년에 독일의 힐베르트라는 수학자가 제정한 23개의 힐베르트의 문제들에도 포함되어 있었다.[19]
골드바흐의 추측
골드바흐의 추측:2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
골드바흐의 약한 추측:
5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
전자가 참이라면 후자도 참이다. 5보다 큰 홀수는 2보다 큰 짝수와 3의 합이기 때문. 따라서 '약한' 추측이라 불린다.
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 5 + 5, 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 7 + 7
16 = 5 + 11, 3 + 13
18 = 7 + 11, 5 + 13
20 = 7 + 13, 3 + 17
...
페르마의 마지막정리, 4색 지도, 리만의 가설 등과 더불어 수학계 최대의 난제[1]로 꼽힌다.
한편 1973년에 중국의 수학자 천징룬은 모든 2보다 큰 짝수가 소수와 거의 소수인 수(두 소수의 곱)의 합으로 표현가능함을 증명하였다.